روشهای تنظیم معادلات خطوط در صفحه و فضای سه بعدی

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-02 17:45

خط مستقیم جسم هندسی اصلی روی صفحه و در فضای سه بعدی است. از خطوط مستقیم است که بسیاری از شکل ها ساخته می شوند، به عنوان مثال: متوازی الاضلاع، مثلث، منشور، هرم و غیره. در مقاله روش های مختلف تنظیم معادلات خطوط را در نظر بگیرید.

تعریف خط مستقیم و انواع معادلات برای توصیف آن

هر دانش آموز ایده خوبی از اینکه در مورد چه شی هندسی صحبت می کند دارد. یک خط مستقیم را می توان به عنوان مجموعه ای از نقاط نشان داد، و اگر هر یک از آنها را به نوبه خود با بقیه وصل کنیم، مجموعه ای از بردارهای موازی به دست می آوریم. به عبارت دیگر می توان از یکی از نقاط ثابت آن به هر نقطه از خط رسید و آن را به بردار واحد ضرب در یک عدد واقعی منتقل کرد. این تعریف از یک خط مستقیم برای تعریف یک برابری برداری برای توصیف ریاضی آن هم در صفحه و هم در فضای سه بعدی استفاده می شود.

یک خط مستقیم را می توان به صورت ریاضی با انواع معادلات زیر نشان داد:

عمومی;
بردار;
پارامتریک;
در بخش‌ها؛
متقارن (متعارف).

بعد، همه انواع نام‌گذاری شده را در نظر می‌گیریم و نحوه کار با آنها را با استفاده از مثال‌هایی از حل مسائل نشان می‌دهیم.

بردار و توصیف پارامتریک یک خط مستقیم

بیایید با تعریف یک خط مستقیم از طریق یک بردار شناخته شده شروع کنیم. فرض کنید یک نقطه ثابت در فضای M وجود دارد (x₀؛ y₀؛ z_{0). مشخص است که خط مستقیم از آن عبور می کند و در امتداد قطعه برداری v¯ (a; b; c) هدایت می شود. چگونه می توان یک نقطه دلخواه از خط را از این داده ها پیدا کرد؟ پاسخ به این سوال برابری زیر را نشان می دهد:}

(x; y; z)=(x₀; y₀؛ z_{0) + λ(a; b; c)}

جایی که λ یک عدد دلخواه است.

یک عبارت مشابه را می توان برای حالت دو بعدی نوشت، که در آن مختصات بردارها و نقاط با مجموعه ای از دو عدد نشان داده می شود:

(x; y)=(x₀؛ y_{0) + λ(a; b)}

معادلات نوشته شده را معادلات برداری می نامند و پاره جهت دار v¯ خود بردار جهت خط مستقیم است.

از عبارات نوشته شده، معادلات پارامتری مربوطه به سادگی به دست می آید، کافی است آنها را به صراحت بازنویسی کنیم. به عنوان مثال، برای حالت در فضا، معادله زیر را بدست می آوریم:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

در صورت نیاز به تجزیه و تحلیل رفتار، کار با معادلات پارامتریک راحت استهر مختصات توجه داشته باشید که اگرچه پارامتر λ می‌تواند مقادیر دلخواه بگیرد، اما باید در هر سه برابری یکسان باشد.

معادله کلی

راه دیگر برای تعریف خط مستقیم که اغلب برای کار با شی هندسی در نظر گرفته شده استفاده می شود، استفاده از یک معادله کلی است. برای مورد دو بعدی، به نظر می رسد:

Ax + By + C=0

در اینجا حروف بزرگ لاتین مقادیر عددی خاصی را نشان می دهند. راحتی این برابری در حل مسائل در این واقعیت نهفته است که صریحاً شامل بردار عمود بر یک خط مستقیم است. اگر آن را با n نشان دهیم، می توانیم بنویسیم:

n¯=[A; B]

علاوه بر این، این عبارت برای تعیین فاصله از یک خط مستقیم تا نقطه ای P (x₁؛ y_{1). فرمول فاصله d این است:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

به راحتی می توان نشان داد که اگر به صراحت متغیر y را از معادله کلی بیان کنیم، شکل معروف زیر را از نوشتن یک خط مستقیم بدست می آوریم:

y=kx + b

جایی که k و b به طور یکتا با اعداد A، B، C تعیین می شوند.

معادله در بخش ها و متعارف

معادله در بخش ها از نمای کلی ساده ترین است. ما به شما نشان خواهیم داد که چگونه این کار را انجام دهید.

فرض کنید خط زیر را داریم:

Ax + By + C=0

جمله آزاد را به سمت راست تساوی منتقل کنید، سپس کل معادله را بر آن تقسیم کنید، دریافت می کنیم:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1، که در آن q=-C / A، p=-C / B

ما به اصطلاح معادله را در بخش ها دریافت کردیم. این نام به این دلیل است که مخرجی که هر متغیر با آن تقسیم می شود، مقدار مختصات تقاطع خط با محور مربوطه را نشان می دهد. استفاده از این واقعیت برای به تصویر کشیدن یک خط مستقیم در یک سیستم مختصات، و همچنین برای تجزیه و تحلیل موقعیت نسبی آن در رابطه با سایر اجسام هندسی (خطوط مستقیم، نقاط) راحت است.

حالا به سراغ بدست آوردن معادله متعارف می رویم. اگر گزینه پارامتری را در نظر بگیریم انجام این کار آسان تر است. برای مورد در هواپیما ما داریم:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

پارامتر λ را در هر تساوی بیان می کنیم، سپس آنها را معادل می کنیم، دریافت می کنیم:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

این معادله مورد نظر است که به صورت متقارن نوشته شده است. درست مانند یک عبارت برداری، به صراحت شامل مختصات بردار جهت و مختصات یکی از نقاطی است که به خط تعلق دارد.

می توان دید که در این پاراگراف معادلاتی را برای حالت دو بعدی آورده ایم. به همین ترتیب، می توانید معادله یک خط مستقیم را در فضا بنویسید. در اینجا باید توجه داشت که اگر شکل متعارفرکوردها و بیان در پاره ها یک شکل خواهند داشت، سپس معادله کلی در فضا برای یک خط مستقیم با سیستمی از دو معادله برای صفحات متقاطع نشان داده می شود.

مسئله ساخت معادله خط مستقیم

از هندسه، هر دانش آموزی می داند که از طریق دو نقطه می توان یک خط را رسم کرد. فرض کنید که نقاط زیر در صفحه مختصات داده شده است:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

لازم است معادله خطی را که هر دو نقطه به آن تعلق دارند، به صورت بردار، متعارف و کلی پیدا کنیم.

بیایید ابتدا معادله برداری را بدست آوریم. برای انجام این کار، بردار جهت مستقیم M₁M_{2¯: را تعریف کنید}

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

اکنون می توانید با گرفتن یکی از دو نقطه مشخص شده در بیان مسئله، یک معادله برداری ایجاد کنید، به عنوان مثال، M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

برای به دست آوردن معادله متعارف کافی است تساوی یافت شده را به شکل پارامتری تبدیل کرده و پارامتر λ را حذف کنید. ما داریم:

x=-1 - 2λ، بنابراین λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ، سپس λ=y - 3 را دریافت می کنیم؛

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

دو معادله باقیمانده (عمومی و قطعه ای) را می توان با تبدیل آن به صورت زیر از معادله متعارف پیدا کرد:

x + 1=-2y + 6;

معادله کلی: x + 2y - 5=0;

معادله در بخش ها: x / 5 + y / 2, 5=1

معادلات به دست آمده نشان می دهد که بردار (1؛ 2) باید عمود بر خط باشد. در واقع، اگر حاصل ضرب اسکالر آن را با بردار جهت پیدا کنید، آنگاه برابر با صفر خواهد بود. معادله پاره خط می گوید که این خط محور x را در (5; 0) و محور y را در (2, 5; 0) قطع می کند.

مسئله تعیین نقطه تلاقی خطوط

دو خط مستقیم روی صفحه با معادلات زیر داده می شود:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

لازم است مختصات نقطه تلاقی این خطوط را تعیین کنیم.

دو راه برای حل مشکل وجود دارد:

معادله برداری را به یک فرم کلی تبدیل کنید، سپس سیستم دو معادله خطی را حل کنید.
هیچ تبدیلی انجام ندهید، بلکه فقط مختصات نقطه تقاطع را که از طریق پارامتر λ بیان می شود، در معادله اول جایگزین کنید. سپس مقدار پارامتر را پیدا کنید.

بیایید راه دوم را انجام دهیم. ما داریم: