مسئله گلدباخ یکی از قدیمی ترین و پرطرفدارترین مسائل در تاریخ تمام ریاضیات است.
این حدس برای همه اعداد صحیح کمتر از 4 × 1018 ثابت شده است، اما علیرغم تلاش‌های قابل توجه ریاضیدانان ثابت نشده است.
شماره
عدد گلدباخ یک عدد صحیح زوج مثبت است که مجموع یک جفت اعداد اول فرد است. شکل دیگر حدس گلدباخ این است که همه اعداد صحیح زوج بزرگتر از چهار اعداد گلدباخ هستند.
جداسازی چنین اعدادی پارتیشن (یا پارتیشن) گلدباخ نامیده می شود. در زیر نمونه هایی از بخش های مشابه برای برخی اعداد زوج آمده است:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
کشف فرضیه
گلدباخ یک همکار به نام اویلر داشت که دوست داشت شمارش کند، فرمول های پیچیده بنویسد و تئوری های حل نشدنی را مطرح کند. از این نظر آنها شبیه گلدباخ بودند. اویلر معمای ریاضی مشابهی را حتی قبل از گلدباخ که با او همراه بود ساخته بودمکاتبات ثابت سپس پیشنهاد دومی را در حاشیه نسخه خطی خود ارائه کرد که بر اساس آن عدد صحیح بزرگتر از 2 را می توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت. او 1 را یک عدد اول در نظر گرفت.
اکنون دو فرضیه مشابه یکدیگر شناخته شده‌اند، اما در آن زمان به نظر نمی‌رسید که این یک مشکل باشد. نسخه مدرن مسئله گلدباخ بیان می کند که هر عدد صحیح بزرگتر از 5 را می توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت. اویلر در نامه ای به تاریخ 30 ژوئن 1742 پاسخ داد و به گلدباخ گفت و گوی قبلی آنها را یادآوری کرد ("… بنابراین ما در مورد فرضیه اصلی (و نه حاشیه ای) ناشی از بیانیه زیر صحبت می کنیم.").
مسئله اویلر-گلدباخ
2 و اعداد زوج آن را می توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت که این نیز حدس گلدباخ است. اویلر در نامه‌ای به تاریخ 30 ژوئن 1742 اظهار داشت که هر عدد صحیح حاصل جمع دو عدد اول است که به نظر او قضیه‌ای کاملاً تعریف شده است، اگرچه او نمی‌تواند آن را ثابت کند.
نسخه سوم
نسخه سوم مسئله گلدباخ (معادل دو نسخه دیگر) شکلی است که معمولاً امروزه حدس به آن داده می شود. همچنین به عنوان حدس گلدباخ "قوی"، "زوج" یا "دودویی" شناخته می شود تا آن را از فرضیه ضعیف تر که امروزه به عنوان حدس "ضعیف"، "فرد" یا "سه تایی" گلدباخ شناخته می شود، متمایز کند. حدس ضعیف بیان می کند که همه اعداد فرد بزرگتر از 7 مجموع سه عدد اول فرد هستند. حدس ضعیف در سال 2013 ثابت شد. فرضیه ضعیف این استنتیجه یک فرضیه قوی نتیجه معکوس و حدس قوی گلدباخ تا به امروز ثابت نشده است.
بررسی
برای مقادیر کوچک n، مسئله گلدباخ (و در نتیجه حدس گلدباخ) قابل تأیید است. به عنوان مثال، نیلز پیپینگ در سال 1938 این فرضیه را تا n ≦ 105 به دقت آزمایش کرد. با ظهور اولین کامپیوترها، مقادیر بسیار بیشتری از n محاسبه شد.
Oliveira Silva یک جستجوی کامپیوتری توزیع شده انجام داد که این فرضیه را برای n ≦ 4 × 1018 (و تا 4 × 1017 دوبار بررسی) تا سال 2013 تأیید کرد. یک ورودی از این جستجو این است که 3,325,581,707,333,960,528 کوچکترین عددی است که تقسیم گلدباخ با عدد اول زیر 9781 ندارد.
اکتشافی
نسخه شکل قوی حدس گلدباخ به شرح زیر است: از آنجایی که با افزایش n مقدار به بی نهایت میل می کند، انتظار داریم که هر عدد صحیح بزرگ بیش از یک نمایش به عنوان مجموع دو عدد اول داشته باشد. اما در واقع، چنین نمایش هایی بسیار زیاد است. چه کسی مشکل گلدباخ را حل کرد؟ افسوس، هنوز هیچکس.
این استدلال اکتشافی در واقع تا حدودی نادقیق است، زیرا فرض می کند که m از نظر آماری مستقل از n است. به عنوان مثال، اگر m فرد باشد، n - m نیز فرد است و اگر m زوج باشد، n - m زوج است و این یک رابطه غیر بی اهمیت (مختلط) است، زیرا به غیر از عدد 2، فقط فرد است. اعداد می توانند اول باشند به همین ترتیب، اگر n بر 3 بخش پذیر باشد و m قبلاً یک عدد اول غیر از 3 بوده است، n - m نیز متقابلاً است.عدد اول با 3، بنابراین به احتمال زیاد یک عدد اول در مقابل یک عدد کل است. با انجام دقیق‌تر این نوع تحلیل، هاردی و لیتل‌وود در سال 1923، به‌عنوان بخشی از حدس‌های ساده تاپلی معروف هاردی-لیتل‌وود، کل نظریه را اصلاح کردند. اما تاکنون به حل مشکل کمکی نکرده است.
فرضیه قوی
حدس قوی گلدباخ بسیار پیچیده تر از حدس ضعیف گلدباخ است. شنیرلمن بعداً ثابت کرد که هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را می توان به صورت مجموع حداکثر اعداد اول C نوشت، جایی که C یک ثابت قابل محاسبه موثر است. بسیاری از ریاضیدانان با شمارش و ضرب اعداد، ارائه فرمول های پیچیده و غیره سعی در حل آن کردند. اما آنها هرگز موفق نشدند، زیرا این فرضیه بسیار پیچیده است. هیچ فرمولی کمکی نکرد.
اما ارزش آن را دارد که کمی از مسئله اثبات مشکل گلدباخ فاصله بگیریم. ثابت Shnirelman کوچکترین عدد C با این ویژگی است. خود Shnirelman C <800 000 را دریافت کرد. این نتیجه متعاقباً توسط بسیاری از نویسندگان تکمیل شد، مانند اولیویه رامارت، که در سال 1995 نشان داد که هر عدد زوج n ≧ 4 در واقع مجموع حداکثر شش عدد اول است. مشهورترین نتیجه ای که در حال حاضر با نظریه گلدباخ توسط هارالد هلفگوت مرتبط است.
توسعه بیشتر
در سال 1924، هاردی و لیتل وود G. R. H. نشان داد که تعداد اعداد زوج تا X، که مسئله گلدباخ دودویی را نقض می‌کنند، بسیار کمتر از c کوچک است.
در سال 1973 چن جینگیونسعی کردم این مشکل را حل کنم اما نشد. او همچنین یک ریاضیدان بود، بنابراین به حل معماها و اثبات قضایا بسیار علاقه داشت.
در سال 1975، دو ریاضی دان آمریکایی نشان دادند که ثابت های مثبت c و C وجود دارند - آنهایی که N به اندازه کافی بزرگ هستند. به ویژه، مجموعه اعداد صحیح دارای چگالی صفر هستند. همه اینها برای کار روی حل مشکل سه تایی گلدباخ مفید بود که در آینده انجام خواهد شد.
در سال 1951، لینیک وجود یک K ثابت را به گونه ای ثابت کرد که هر عدد زوج به اندازه کافی بزرگ، نتیجه جمع کردن یک عدد اول و یک عدد اول دیگر به یکدیگر است. راجر هیث براون و یان کریستوف شلاژ پوچتا در سال 2002 دریافتند که K=13 کار می کند. این برای همه افرادی که دوست دارند به یکدیگر اضافه کنند، اعداد مختلف را جمع کنند و ببینند چه اتفاقی می افتد بسیار جالب است.
حل مشکل گلدباخ
همانند بسیاری از حدس های شناخته شده در ریاضیات، تعدادی شواهد ادعایی برای حدس گلدباخ وجود دارد که هیچ یک از آنها توسط جامعه ریاضی پذیرفته نشده است.
اگرچه حدس گلدباخ نشان می دهد که هر عدد صحیح مثبت بزرگتر از یک را می توان به صورت مجموع حداکثر سه عدد اول نوشت، اما همیشه نمی توان چنین جمعی را با استفاده از الگوریتم حریصانه ای که از بزرگترین عدد اول ممکن استفاده می کند، یافت. در هر مرحله. دنباله Pillai اعدادی را که به بیشترین اعداد اول نیاز دارند را در نمایش حریصانه خود پیگیری می کند. بنابراین راه حل مشکل گلدباخهنوز مورد سوال با این وجود، دیر یا زود به احتمال زیاد حل خواهد شد.
تئوری هایی شبیه به مسئله گلدباخ وجود دارد که در آن اعداد اول با مجموعه اعداد خاص دیگری مانند مربع جایگزین می شوند.
کریستین گلدباخ
کریستین گلدباخ یک ریاضیدان آلمانی بود که در رشته حقوق نیز تحصیل کرد. او امروز به خاطر حدس گلدباخ به یاد می‌آید.
او در تمام عمرش به عنوان یک ریاضیدان کار کرد - او به جمع کردن اعداد، اختراع فرمول های جدید بسیار علاقه داشت. او همچنین چندین زبان را می دانست که در هر یک از آنها دفتر خاطرات شخصی خود را حفظ می کرد. این زبان ها آلمانی، فرانسوی، ایتالیایی و روسی بودند. همچنین بر اساس برخی منابع به زبان انگلیسی و لاتین صحبت می کرد. او در طول زندگی خود به عنوان یک ریاضیدان نسبتاً مشهور شناخته می شد. گلدباخ همچنین ارتباط نزدیکی با روسیه داشت، زیرا او همکاران روسی زیادی داشت و از طرفداران خانواده سلطنتی برخوردار بود.
او در سال 1725 در آکادمی علوم سن پترزبورگ به عنوان استاد ریاضیات و مورخ آکادمی به کار ادامه داد. در سال 1728، زمانی که پیتر دوم تزار روسیه شد، گلدباخ مربی او شد. در سال 1742 وارد وزارت خارجه روسیه شد. یعنی در واقع در کشور ما کار می کرد. در آن زمان دانشمندان، نویسندگان، فیلسوفان و نظامیان زیادی به روسیه آمدند، زیرا روسیه در آن زمان کشور فرصت‌هایی مانند آمریکا بود. خیلی ها اینجا حرفه ای کرده اند. و قهرمان ما نیز از این قاعده مستثنی نیست.
کریستین گلدباخ چند زبانه بود - او یک دفتر خاطرات به آلمانی و لاتین نوشت و نامه‌هایش.به زبان های آلمانی، لاتین، فرانسوی و ایتالیایی نوشته می شد و برای اسناد رسمی از روسی، آلمانی و لاتین استفاده می کرد.
او در 20 نوامبر 1764 در سن 74 سالگی در مسکو درگذشت. روزی که مشکل گلدباخ حل شود، ادای احترام مناسبی به یاد او خواهد بود.
نتیجه گیری
گلدباخ یک ریاضیدان بزرگ بود که یکی از بزرگترین اسرار این علم را به ما داد. معلوم نیست بالاخره حل میشه یا نه. ما فقط می دانیم که وضوح فرضی آن، مانند قضیه فرما، چشم اندازهای جدیدی را برای ریاضیات باز خواهد کرد. ریاضیدانان علاقه زیادی به حل و تجزیه و تحلیل آن دارند. از نقطه نظر اکتشافی بسیار جالب و کنجکاو است. حتی دانش‌آموزان ریاضی دوست دارند مسئله گلدباخ را حل کنند. دیگر چگونه؟ از این گذشته ، جوانان دائماً جذب همه چیزهای روشن ، جاه طلبانه و حل نشده می شوند ، زیرا با غلبه بر مشکلات می توان خود را اثبات کرد. امیدواریم به زودی این مشکل توسط ذهن های جوان، جاه طلب و کنجکاو حل شود.
