اعداد غیر منطقی چیست؟ چرا به این نام می گویند؟ کجا استفاده می شوند و چه کاربردی دارند؟ کمتر کسی می تواند بدون تردید به این سؤالات پاسخ دهد. اما در واقع، پاسخ به آنها بسیار ساده است، اگرچه همه به آنها نیاز ندارند و در شرایط بسیار نادر
جوهر و نام
اعداد غیر منطقی کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی هستند. نیاز به معرفی این مفهوم به این دلیل است که مفاهیم قبلی از اعداد حقیقی یا واقعی، اعداد صحیح، طبیعی و گویا دیگر برای حل مسائل نوظهور کافی نبودند. به عنوان مثال، برای محاسبه مجذور 2، باید از اعشار بی نهایت غیر تکراری استفاده کنید. علاوه بر این، بسیاری از ساده ترین معادلات نیز بدون معرفی مفهوم اعداد غیر منطقی، راه حلی ندارند.
این مجموعه با I نشان داده می شود. و همانطور که قبلاً مشخص است، این مقادیر را نمی توان به عنوان یک کسر ساده نشان داد که در صورت آن یک عدد صحیح و در مخرج یک عدد طبیعی وجود دارد..
برای اولین باردر غیر این صورت، ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد با این پدیده مواجه شدند، زمانی که مشخص شد که ریشه های مربع برخی از مقادیر را نمی توان به صراحت نشان داد. و اولین اثبات وجود چنین اعدادی به هیپاسوس فیثاغورثی نسبت داده می شود که این کار را در فرآیند مطالعه مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین انجام داد. کمک جدی به مطالعه این مجموعه توسط برخی از دانشمندان دیگر که قبل از عصر ما زندگی می کردند انجام شد. معرفی مفهوم اعداد غیر منطقی مستلزم تجدید نظر در سیستم ریاضی موجود است، به همین دلیل است که آنها بسیار مهم هستند.
منشأ نام
اگر ratio در لاتین به معنای "کسر"، "نسبت" است، پس پیشوند "ir"
به این کلمه معنای مخالف می دهد. بنابراین، نام مجموعه این اعداد نشان می دهد که نمی توان آنها را با یک عدد صحیح یا کسری همبستگی کرد، آنها جای جداگانه دارند. این از ماهیت آنها ناشی می شود.
مکان در رده بندی کلی
اعداد غیر منطقی به همراه اعداد گویا به گروه اعداد حقیقی یا حقیقی تعلق دارند که به نوبه خود به اعداد مختلط تعلق دارند. هیچ زیر مجموعه ای وجود ندارد، با این حال، انواع جبری و ماورایی وجود دارد که در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت.
خواص
از آنجایی که اعداد غیر منطقی بخشی از مجموعه اعداد حقیقی هستند، تمام خصوصیات آنها که در حساب بررسی می شوند (به آنها قوانین جبری اساسی نیز گفته می شود) در مورد آنها صدق می کند.
a + b=b + a (جابه‌جایی);
(a + b) + c=a + (b + c)(تعاون)؛
a + 0=a;
a + (-a)=0 (وجود عدد مقابل)؛
ab=ba (قانون جابجایی);
(ab)c=a(bc) (توزیع);
a(b+c)=ab + ac (قانون توزیعی);
a x 1=a
a x 1/a=1 (وجود یک عدد معکوس)؛
مقایسه نیز مطابق با قوانین و اصول کلی انجام می شود:
اگر a > b و b > c، آنگاه > c (گذرا بودن نسبت) و. غیره
البته، همه اعداد غیر منطقی را می توان با استفاده از حساب پایه تبدیل کرد. هیچ قانون خاصی برای این وجود ندارد.
علاوه بر این، اصل ارشمیدس در مورد اعداد غیر منطقی صدق می کند. می گوید که برای هر دو کمیت a و b، این جمله درست است که با در نظر گرفتن a به عنوان یک بار به اندازه کافی، می توانید از b پیشی بگیرید.
استفاده
علیرغم این واقعیت که در زندگی معمولی اغلب مجبور نیستید با آنها سر و کار داشته باشید، اعداد غیر منطقی قابل شمارش نیستند. تعداد زیادی از آنها وجود دارد، اما آنها تقریبا نامرئی هستند. همه جا با اعداد غیرمنطقی احاطه شده ایم. نمونه هایی که برای همه آشنا هستند عبارتند از عدد پی، برابر با 3، 1415926 …، یا e، که اساساً پایه لگاریتم طبیعی است، 2، 718281828 … در جبر، مثلثات و هندسه باید دائما از آنها استفاده کرد.. به هر حال، مقدار معروف "قطع طلایی"، یعنی نسبت هر دو قسمت بزرگتر به کوچکتر و بالعکس، نیز
است.
متعلق به این مجموعه است. "نقره" کمتر شناخته شده - بیش از حد.
آنها بسیار متراکم روی خط اعداد قرار دارند، بنابراین بین هر دو مقدار مربوط به مجموعه مقادیر منطقی، مطمئناً یک مقدار غیرمنطقی رخ می دهد.
هنوز بسیاری از مشکلات حل نشده مربوط به این مجموعه وجود دارد. معیارهایی مانند میزان غیرمنطقی بودن و نرمال بودن یک عدد وجود دارد. ریاضیدانان به بررسی مهم ترین نمونه ها برای تعلق آنها به یک گروه یا گروه دیگر ادامه می دهند. به عنوان مثال، اعتقاد بر این است که e یک عدد عادی است، یعنی احتمال وجود ارقام مختلف در رکورد آن یکسان است. در مورد pi، تحقیقات هنوز در مورد آن در حال انجام است. اندازه گیری غیرمنطقی بودن مقداری نیز نامیده می شود که نشان می دهد چقدر می توان این یا آن عدد را با اعداد گویا تقریب زد.
جبری و ماورایی
همانطور که قبلا ذکر شد، اعداد غیر منطقی به طور مشروط به جبری و ماورایی تقسیم می شوند. به طور مشروط، زیرا، به طور دقیق، از این طبقه بندی برای تقسیم مجموعه C استفاده می شود.
این تعیین اعداد مختلط را که شامل اعداد حقیقی یا واقعی هستند پنهان می کند.
بنابراین، یک مقدار جبری مقداری است که ریشه یک چند جمله ای است که برابر با صفر نیست. به عنوان مثال، جذر 2 در این دسته قرار می گیرد زیرا حل معادله x2 - 2=0.
است.
همه اعداد حقیقی دیگر که این شرط را برآورده نمی کنند، ماورایی نامیده می شوند. به این تنوعشامل معروف ترین و مثال های ذکر شده - عدد پی و پایه لگاریتم طبیعی e.
جالب اینجاست که نه یکی و نه دومی در اصل توسط ریاضیدانان با این ظرفیت استنباط نشده است، غیرمنطقی بودن و متعالی بودن آنها سالها پس از کشف آنها ثابت شد. برای پی، اثبات در سال 1882 ارائه شد و در سال 1894 ساده شد، که به مناقشه 2500 ساله در مورد مشکل مربع کردن دایره پایان داد. هنوز به طور کامل درک نشده است، بنابراین ریاضیدانان مدرن چیزی برای کار کردن دارند. به هر حال، اولین محاسبه به اندازه کافی دقیق از این مقدار توسط ارشمیدس انجام شد. قبل از او، همه محاسبات بیش از حد تقریبی بود.
برای e (اعداد اویلر یا ناپیر)، اثبات برتری آن در سال 1873 یافت شد. در حل معادلات لگاریتمی استفاده می شود.
مثالهای دیگر شامل مقادیر سینوس، کسینوس و مماس برای هر مقدار غیر صفر جبری است.
