فرمول سرعت میانگین مربعات ریشه مولکولهای گاز ایده آل. نمونه کار

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

نظریه مولکولی-سینتیکی اجازه می دهد تا با تجزیه و تحلیل رفتار میکروسکوپی سیستم و استفاده از روش های مکانیک آماری، ویژگی های ماکروسکوپی مهم سیستم ترمودینامیکی را به دست آوریم. یکی از مشخصات میکروسکوپی که به دمای سیستم مربوط می شود، میانگین سرعت مربعات مولکول های گاز است. ما فرمول آن را می دهیم و در مقاله در نظر می گیریم.

گاز ایده آل

ما فوراً متذکر می شویم که فرمول میانگین سرعت درجه دوم مولکول های گاز به طور خاص برای یک گاز ایده آل ارائه می شود. تحت آن، در فیزیک، چنین سیستم چند ذره ای در نظر گرفته می شود که در آن ذرات (اتم ها، مولکول ها) با یکدیگر برهم کنش ندارند (انرژی جنبشی آنها از انرژی پتانسیل برهمکنش با چندین مرتبه بزرگی فراتر می رود) و ابعادی ندارند. یعنی نقاطی با جرم محدود (فاصله بین ذرات چندین مرتبه بزرگتر از اندازه آنها) هستند.خطی).

هر گازی که از مولکول ها یا اتم های شیمیایی خنثی تشکیل شده باشد و تحت فشار کم باشد و دمای بالایی داشته باشد، می تواند ایده آل در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، هوا یک گاز ایده آل است، اما بخار آب دیگر چنین نیست (پیوندهای هیدروژنی قوی بین مولکول های آب عمل می کنند).

نظریه جنبشی مولکولی (MKT)

مطالعه یک گاز ایده آل در چارچوب MKT، باید به دو فرآیند مهم توجه کرد:

1. گاز با انتقال به دیواره های ظرفی که حاوی آن است، فشار ایجاد می کند، حرکتی که در برخورد مولکول ها و اتم ها با آنها ایجاد می شود. چنین برخوردهایی کاملاً الاستیک هستند.
2. مولکول‌ها و اتم‌های گاز به‌طور تصادفی در همه جهات با سرعت‌های مختلف حرکت می‌کنند که توزیع آن‌ها تابع آمار ماکسول-بولتزمن است. احتمال برخورد بین ذرات به دلیل اندازه ناچیز و فاصله زیاد بین آنها بسیار کم است.

علیرغم این واقعیت که سرعت تکی ذرات گاز با یکدیگر بسیار متفاوت است، اگر هیچ تأثیر خارجی بر روی سیستم وجود نداشته باشد، مقدار متوسط این مقدار در طول زمان ثابت می ماند. فرمول میانگین سرعت مربع مولکول های گاز را می توان با در نظر گرفتن رابطه بین انرژی جنبشی و دما به دست آورد. در پاراگراف بعدی مقاله به این موضوع خواهیم پرداخت.

اشتقاق فرمول سرعت متوسط درجه دوم مولکولهای گاز ایده آل

هر دانش آموز از درس عمومی فیزیک می داند که انرژی جنبشی حرکت انتقالی جسمی با جرم m به صورت زیر محاسبه می شود:

E_k=mv²/2

جایی که v سرعت خطی است. از سوی دیگر، انرژی جنبشی یک ذره را نیز می توان بر حسب دمای مطلق T، با استفاده از ضریب تبدیل k_B (ثابت بولتزمن) تعیین کرد. از آنجایی که فضای ما سه بعدی است، E_k به صورت زیر محاسبه می شود:

E_k=3/2k_BT.

معادل هر دو برابری و بیان v از آنها، فرمول میانگین سرعت یک گاز ایده آل درجه دوم را به دست می آوریم:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

در این فرمول، m - جرم ذره گاز است. مقدار آن برای استفاده در محاسبات عملی ناخوشایند است، زیرا کوچک است (≈ 10^-27 کیلوگرم). برای جلوگیری از این ناراحتی، اجازه دهید ثابت گاز جهانی R و جرم مولی M را به خاطر بیاوریم. ثابت R با k_B با برابری مرتبط است:

k_B=R/N_A.

مقدار M به صورت زیر تعریف می شود:

M=mN_A.

با در نظر گرفتن هر دو برابری، عبارت زیر را برای سرعت میانگین مربعات ریشه مولکول ها به دست می آوریم:

v=√(3RT/M).

بنابراین، میانگین سرعت مربع ذرات گاز با ریشه دوم دمای مطلق نسبت مستقیم و با جذر جرم مولی نسبت معکوس دارد.

نمونه ای از حل مسئله

همه می دانند که هوایی که تنفس می کنیم 99 درصد نیتروژن و اکسیژن است. لازم است تفاوت در سرعت متوسط مولکول های N₂ و O₂ در دمای 15 ^{o تعیین شود.} C.

این مشکل به ترتیب حل خواهد شد. ابتدا دما را به واحدهای مطلق ترجمه می کنیم، داریم:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

حالا جرم مولی هر مولکول مورد نظر را بنویسید:

M_N2=0.028 kg/mol;

M_O2=0.032 کیلوگرم/مول.

از آنجایی که مقادیر توده های مولی کمی متفاوت است، سرعت متوسط آنها در همان دما نیز باید نزدیک باشد. با استفاده از فرمول v، مقادیر زیر را برای مولکول های نیتروژن و اکسیژن به دست می آوریم:

v (N₂)=√(38، 314288، 15/0، 028)=506.6 m/s;

v (O₂)=√(38، 314288، 15/0، 032)=473.9 متر بر ثانیه.

چون مولکولهای نیتروژن کمی سبکتر از مولکولهای اکسیژن هستند، سریعتر حرکت می کنند. میانگین اختلاف سرعت:

v (N₂) - v (O₂)=506.6 - 473.9=32.7 متر بر ثانیه.

مقدار به دست آمده تنها 6.5 درصد از سرعت متوسط مولکول های نیتروژن است. ما توجه را به سرعت بالای مولکول‌ها در گازها، حتی در دماهای پایین جلب می‌کنیم.