تعریف و بزرگی عدد گراهام

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-15 17:23

در کلمه "بی نهایت" هر فردی تداعی های خاص خود را دارد. بسیاری در تخیل خود دریایی را ترسیم می کنند که فراتر از افق است، در حالی که برخی دیگر تصویری از یک آسمان پرستاره بی پایان را در مقابل چشمان خود دارند. ریاضیدانانی که عادت به کار با اعداد دارند، بی نهایت را به شیوه ای کاملاً متفاوت تصور می کنند. برای قرن‌های متمادی، آن‌ها در تلاش بوده‌اند تا بزرگترین کمیت‌های فیزیکی مورد نیاز برای اندازه‌گیری را بیابند. یکی از آنها عدد گراهام است. این مقاله نشان می دهد که چند صفر در آن وجود دارد و برای چه استفاده می شود.

عدد بی نهایت بزرگ

در ریاضیات، این نام چنین متغیری است x ، اگر برای هر عدد مثبت M می توان یک عدد طبیعی N را به گونه ای تعیین کرد که برای همه اعداد n بزرگتر از N باشد. نابرابری |x _{| > M. با این حال، نه، برای مثال، عدد صحیح Z را می توان بی نهایت بزرگ در نظر گرفت، زیرا همیشه کمتر از (Z + 1) خواهد بود.}

چند کلمه در مورد "غول ها"

بزرگترین اعدادی که معنای فیزیکی دارند عبارتند از:

• 1080. این عدد که معمولاً کوین کوویژینتیلیون نامیده می‌شود، برای نشان دادن تعداد تقریبی کوارک‌ها و لپتون‌ها (کوچک‌ترین ذرات) در کیهان استفاده می‌شود.
• 1 Google. چنین عددی در سیستم اعشاری به صورت یک واحد با 100 صفر نوشته می شود. طبق برخی از مدل های ریاضی، از زمان انفجار بزرگ تا انفجار عظیم ترین سیاهچاله، از 1 تا 1.5 سال گوگول باید بگذرد، پس از آن، جهان ما به آخرین مرحله وجود خود می رود، یعنی می توانیم فرض کنید این عدد معنای فیزیکی خاصی دارد.
• 8، 5 x 10¹⁸⁵. ثابت پلانک 1.616199 x 10^-35 m است، یعنی در نماد اعشاری مانند 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000616199 متر به نظر می رسد. در هر اینچ حدود 1 طول پلانک گوگول وجود دارد. تخمین زده می شود که حدود 8.5 x 10^{185 طول پلانک می تواند در کل جهان ما جا بیفتد.}
• 2^{77 232 917} - 1. این بزرگترین عدد اول شناخته شده است. اگر نماد باینری آن شکل نسبتاً فشرده ای داشته باشد، برای به تصویر کشیدن آن به صورت اعشاری، کمتر از 13 میلیون کاراکتر طول خواهد کشید. در سال 2017 به عنوان بخشی از پروژه ای برای جستجوی اعداد مرسن پیدا شد. اگر علاقه مندان به کار در این جهت ادامه دهند، در سطح فعلی توسعه فناوری رایانه، در آینده نزدیک بعید است که بتوانند عدد مرسن را با مرتبه بزرگی 277 232 917 بیابند. ^{- 1، اگرچه چنین استبرنده خوش شانس 150000 دلار آمریکا دریافت خواهد کرد.}
• Hugoplex. در اینجا فقط 1 را می گیریم و بعد از آن صفر را به مقدار 1 گوگول اضافه می کنیم. می توانید این عدد را 10^10^100 بنویسید. نمایش آن به صورت اعشاری غیرممکن است، زیرا اگر کل فضای کیهان با تکه‌هایی پر شده باشد که روی هر یک از آنها 0 با فونت 10 نوشته می‌شود، در این صورت فقط نیمی از همه 0 بعد از 1 برای عدد googolplex به دست می آیند.
• 10^10^10^10^10^1.1. این عددی است که تعداد سال‌هایی را نشان می‌دهد که پس از آن، طبق قضیه پوانکاره، جهان ما، در نتیجه نوسانات کوانتومی تصادفی، به وضعیت نزدیک به امروز باز می‌گردد.

چگونه اعداد گراهام به وجود آمد

در سال 1977، مارتین گاردنر، محبوب‌کننده مشهور علم، مقاله‌ای را در مجله Scientific American درباره اثبات گراهام درباره یکی از مشکلات نظریه رامسه منتشر کرد. در آن، او حد تعیین شده توسط دانشمند را بزرگترین عددی خواند که تا به حال در استدلال ریاضی جدی استفاده شده است.

رونالد لوئیس گراهام کیست

این دانشمند که اکنون در دهه ۸۰ خود است، در کالیفرنیا به دنیا آمد. در سال 1962 مدرک دکترای ریاضیات را از دانشگاه برکلی دریافت کرد. او 37 سال در آزمایشگاه بل کار کرد و بعداً به آزمایشگاه AT&T نقل مکان کرد. این دانشمند فعالانه با یکی از بزرگترین ریاضیدانان قرن بیستم، پال اردوس، همکاری کرد و برنده جوایز معتبر بسیاری است. کتابشناسی علمی گراهام شامل بیش از 320 مقاله علمی است.

در اواسط دهه 70، دانشمند به مشکل مرتبط با این نظریه علاقه مند بود.رمزی در اثبات آن، کران بالایی محلول تعیین شد، که عدد بسیار بزرگی است که پس از آن به نام رونالد گراهام نامگذاری شد.

مشکل هایپرمکعب

برای درک ماهیت عدد گراهام، ابتدا باید بفهمید که چگونه به دست آمده است.

دانشمند و همکارش بروس روچیلد در حال حل مشکل زیر بودند:

یه ابرمکعب n بعدی وجود دارد. همه جفت های رئوس آن طوری به هم وصل شده اند که یک نمودار کامل با 2راس به دست می آید. هر یک از لبه های آن به رنگ آبی یا قرمز است. لازم بود حداقل تعداد رئوسی که یک هایپرمکعب باید داشته باشد را پیدا کنیم تا هر رنگ آمیزی حاوی یک زیرگراف تک رنگ کامل با 4 راس در یک صفحه باشد.

تصمیم

گراهام و روچیلد ثابت کردند که مسئله دارای راه حل N' است که شرط 6 ⩽ N' ⩽N را برآورده می کند که در آن N یک عدد کاملاً تعریف شده و بسیار بزرگ است.

کران پایینی برای N متعاقباً توسط دانشمندان دیگر تصحیح شد، آنها ثابت کردند که N باید بزرگتر یا مساوی 13 باشد. بنابراین، عبارت برای کوچکترین تعداد رئوس یک ابرمکعب که شرایط ارائه شده در بالا را برآورده می کند، تبدیل شد. 13 ⩽ N'⩽ N.

نماد پیکان کنوت

قبل از تعریف عدد گراهام، باید خود را با روش نمایش نمادین آن آشنا کنید، زیرا نه نماد اعشاری و نه باینری مطلقاً برای این کار مناسب نیستند.

در حال حاضر، نماد پیکان کنوت برای نشان دادن این کمیت استفاده می شود. به گفته او:

ab=یک "پیکان رو به بالا" b.

برای عملیات توان چندگانه، ورودی معرفی شد:

a "tamp arrow" "up arrow" b=ab="برجی متشکل از a به مقدار b قطعه."

و برای pentation، یعنی تعیین نمادین قدرت مکرر عملگر قبلی، Knuth قبلا از 3 فلش استفاده کرده است.

با استفاده از این نماد برای عدد گراهام، دنباله‌های "پیکان" را به مقدار 64 عدد در یکدیگر تودرتو داریم.

مقیاس

عدد معروف آنها که تخیل را تحریک می کند و مرزهای آگاهی انسان را گسترش می دهد و آن را فراتر از محدوده کیهان می برد، گراهام و همکارانش آن را به عنوان کران بالایی برای عدد N در اثبات ابرمکعب به دست آوردند. مشکل ارائه شده در بالا تصور اینکه مقیاس آن چقدر بزرگ است برای یک فرد عادی بسیار دشوار است.

مسئله تعداد کاراکترها، یا همانطور که گاهی به اشتباه گفته می شود، صفر در عدد گراهام، تقریباً برای همه کسانی که برای اولین بار در مورد این مقدار می شنوند، جالب است.

کافی است بگوییم که ما با یک سکانس به سرعت در حال رشد روبرو هستیم که از ۶۴ عضو تشکیل شده است. حتی اولین عبارت آن غیر ممکن است تصور شود، زیرا از n "برج" تشکیل شده است که از 3-to تشکیل شده است. در حال حاضر "طبقه پایین" آن از 3 سه طبقه برابر با 7,625,597,484,987 است، یعنی از 7 میلیارد فراتر رفته است، یعنی در مورد طبقه 64 (عضو نیست!). بنابراین، در حال حاضر نمی توان دقیقاً گفت که عدد گراهام چیست، زیرا برای محاسبه آن کافی نیست.قدرت ترکیبی همه رایانه‌هایی که امروزه روی زمین وجود دارند.

رکورد شکسته شد؟

در فرآیند اثبات قضیه کروسکال، عدد گراهام "از پایه اش پرت شد". دانشمند مشکل زیر را مطرح کرد:

توالی نامتناهی از درختان محدود وجود دارد. کروسکال ثابت کرد که همیشه بخشی از یک گراف وجود دارد که هم بخشی از یک نمودار بزرگتر و هم کپی دقیق آن است. این جمله هیچ تردیدی ایجاد نمی کند، زیرا بدیهی است که همیشه یک ترکیب دقیقاً تکراری در بی نهایت وجود خواهد داشت

بعدها، هاروی فریدمن تنها با در نظر گرفتن چنین نمودارهای غیر چرخه ای (درخت) که برای گراف خاصی با ضریب i حداکثر راس (i + k) وجود دارد، تا حدودی این مشکل را محدود کرد. او تصمیم گرفت تعداد نمودارهای غیر چرخه ای را دریابد تا با این روش وظیفه آنها همیشه درخت فرعی پیدا شود که در درخت دیگری تعبیه شود.

در نتیجه تحقیقات در مورد این موضوع، مشخص شد که N، بسته به k، با سرعت فوق العاده ای رشد می کند. به طور خاص، اگر k=1، پس N=3. با این حال، در k=2، N در حال حاضر به 11 می رسد. جالب ترین چیز زمانی شروع می شود که k=3. در این مورد، N به سرعت "بلند می شود" و به مقداری می رسد که چند برابر بزرگتر از عدد گراهام است. برای تصور اینکه چقدر بزرگ است، کافی است عدد محاسبه شده توسط رونالد گراهام را به شکل G64 بنویسید (3). سپس مقدار Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3))، از مرتبه G(G(187196)) خواهد بود. به عبارت دیگر، یک مگا ارزش به دست می آید که بی نهایت بزرگتر استیک عدد گراهام غیرقابل تصور بزرگ. در عین حال، حتی آن نیز به تعداد بسیار زیاد از بی نهایت کمتر خواهد بود. منطقی است که درباره این مفهوم با جزئیات بیشتر صحبت کنیم.

بی نهایت

اکنون که توضیح دادیم عدد گراهام روی انگشتان چیست، باید معنایی را که در این مفهوم فلسفی سرمایه گذاری شده و می شود درک کنیم. از این گذشته، "بی نهایت" و "عدد بی نهایت بزرگ" را می توان در یک زمینه خاص یکسان در نظر گرفت.

بیشترین سهم را در بررسی این موضوع ارسطو داشته است. متفکر بزرگ دوران باستان بی نهایت را به بالقوه و بالفعل تقسیم کرد. منظور او از دومی، واقعیت وجود چیزهای نامتناهی بود.

به گفته ارسطو، منابع ایده در مورد این مفهوم اساسی عبارتند از:

• time;
• جداسازی مقادیر؛
• مفهوم مرز و وجود چیزی فراتر از آن؛
• پایان ناپذیری طبیعت خلاق؛
• تفکری که محدودیت ندارد.

در تفسیر مدرن بی‌نهایت، شما نمی‌توانید اندازه‌گیری کمی را مشخص کنید، بنابراین جستجو برای بزرگترین عدد می‌تواند برای همیشه ادامه یابد.

نتیجه گیری

آیا می توان استعاره "نگاه به بی نهایت" و عدد گراهام را به نوعی مترادف دانست؟ بلکه بله و نه. تصور هر دو، حتی با قوی ترین تخیل، غیرممکن است. با این حال، همانطور که قبلا ذکر شد، نمی توان آن را "بیشترین، بیشترین" در نظر گرفت. نکته دیگر این است که در حال حاضر، مقادیر بزرگتر از عدد گراهام، ثابت نیستندحس فیزیکی.

همچنین، ویژگی های یک عدد نامتناهیرا ندارد، مانند:

• ∞ + 1=∞;
• تعداد نامتناهی از اعداد فرد و زوج وجود دارد؛
• ∞ - 1=∞;
• تعداد اعداد فرد دقیقاً نصف همه اعداد است؛
• ∞ + ∞=∞;
• ∞/2=∞.

به طور خلاصه: طبق کتاب رکوردهای گینس، عدد گراهام بزرگترین عدد در تمرین اثبات ریاضی است. با این حال، اعدادی هستند که چندین برابر بیشتر از این مقدار هستند.

به احتمال زیاد، در آینده نیاز به "غول های بزرگ" وجود خواهد داشت، به خصوص اگر شخصی از منظومه شمسی ما فراتر رود یا چیزی غیرقابل تصور در سطح فعلی آگاهی ما اختراع کند.