بیجکشن تعریف مفهوم، مشخصه

2024 نویسنده: Angel Austin | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-17 05:24

در ریاضیات، مفهوم "مجموعه" و همچنین مثال هایی از مقایسه این مجموعه ها با یکدیگر وجود دارد. اسامی انواع مقایسه ست ها عبارتند از: bijection، injection، surjection. هر یک از آنها با جزئیات بیشتری در زیر توضیح داده شده است.

بیژکشن … چیست؟

یک گروه از عناصر مجموعه اول با گروه دوم از عناصر مجموعه دوم به این شکل تطبیق داده می شود: هر یک از عناصر گروه اول مستقیماً با یک عنصر دیگر از گروه دوم تطبیق داده می شود. وضعیتی با کمبود یا شمارش عناصر یک یا از دو گروه از مجموعه ها وجود ندارد.

فرمولاسیون خواص اصلی:

1. یک عنصر به یک.
2. هیچ عنصر اضافی هنگام تطبیق وجود ندارد و اولین ویژگی حفظ می شود.
3. می توان با حفظ نمای کلی، نقشه برداری را معکوس کرد.
4. بیژکشن تابعی است که هم تزریقی و هم سطحی است.

بیجکشن از دیدگاه علمی

توابع بیجکتیو دقیقاً هم شکل هایی در دسته «مجموعه و مجموعه توابع» هستند. با این حال، bijection ها همیشه هم شکلی برای دسته های پیچیده تر نیستند. به عنوان مثال، در دسته خاصی از گروه ها، مورفیسم ها باید هم شکل باشند، زیرا باید ساختار گروه را حفظ کنند. بنابراین، ایزومورفیسم‌ها هم‌مورفیسم‌های گروهی هستند که هم‌مورفیسم‌های دو شکلی هستند.

مفهوم "تطابق یک به یک" به توابع جزئی تعمیم داده می شود، جایی که به آنها دوجنسی جزئی می گویند، اگرچه یک بیجکشن جزئی همان چیزی است که باید تزریق باشد. دلیل این آرامش این است که تابع جزئی (مناسب) دیگر برای بخشی از دامنه آن تعریف نشده است. بنابراین، دلیل خوبی برای محدود کردن تابع معکوس آن به یک تابع کامل وجود ندارد، یعنی در همه جای دامنه آن تعریف شده است. مجموعه ای از تمام انحرافات جزئی به یک مجموعه پایه معین، یک نیمه گروه معکوس متقارن نامیده می شود.

راه دیگری برای تعریف همین مفهوم: شایسته است بگوییم که تقسیم جزئی مجموعه‌ها از A به B هر رابطه R (تابع جزئی) با این ویژگی است که R یک نمودار تقسیم f:A'→B است. 'جایی که A' زیر مجموعه ای از A است و B' زیر مجموعه ای از B است.

وقتی یک تقسیم جزئی در یک مجموعه قرار می گیرد، گاهی اوقات به آن تبدیل جزئی یک به یک می گویند. یک مثال تبدیل موبیوس است که فقط در صفحه مختلط تعریف شده است، نه تکمیل آن در صفحه پیچیده گسترده.

تزریق

یک گروه از عناصر مجموعه اول با گروه دوم از عناصر مجموعه دوم به این شکل تطبیق داده می شود: هر یک از عناصر گروه اول با یک عنصر دیگر از مجموعه دوم مطابقت داده می شود، اما نه همه عناصر آنها به جفت تبدیل می شوند. تعداد عناصر جفت نشده بستگی به تفاوت تعداد همین عناصر در هر یک از مجموعه ها دارد: اگر یک مجموعه از سی و یک عنصر تشکیل شده باشد و دیگری دارای هفت عنصر دیگر باشد، تعداد عناصر جفت نشده هفت است. تزریق مستقیم به مجموعه تزریق و تزریق شبیه به هم هستند، اما چیزی بیش از مشابه نیستند.

جراحی

یک گروه از عناصر مجموعه اول با گروه دوم از عناصر مجموعه دوم به این ترتیب تطبیق داده می شود: هر عنصر از هر گروه یک جفت را تشکیل می دهد، حتی اگر بین تعداد عناصر تفاوت وجود داشته باشد. نتیجه این است که یک عنصر از یک گروه می تواند با چندین عنصر از گروه دیگر جفت شود.

نه تابع دوسویی، نه تزریقی و نه تابعی

این تابعی از شکل دوطرفه و سطحی است، اما با تزریق باقیمانده (جفت نشده)=>. در چنین عملکردی، به وضوح ارتباط بین bijection و surjection وجود دارد، زیرا مستقیماً این دو نوع مقایسه مجموعه را شامل می شود. بنابراین، مجموع انواع این توابع به تنهایی یکی از آنها نیست.

توضیح انواع توابع

برای مثال، ناظر مجذوب موارد زیر است. مسابقات تیراندازی با کمان وجود دارد. هر کدام ازشرکت کنندگان می خواهند به هدف ضربه بزنند (به منظور تسهیل کار: دقیقاً جایی که فلش برخورد می کند در نظر گرفته نمی شود). فقط سه شرکت کننده و سه هدف - این اولین سایت (سایت) مسابقات است. در بخش های بعدی، تعداد کمانداران حفظ می شود، اما تعداد اهداف تغییر می کند: در دوم - چهار هدف، در بعدی - همچنین چهار، و در چهارم - پنج. هر شرکت کننده به هر هدف شلیک می کند.

1. اولین محل برگزاری مسابقات. اولین تیرانداز تنها به یک هدف برخورد می کند. دومی فقط به یک هدف برخورد می کند. سومی بعد از دیگران تکرار می شود و همه کمانداران به اهداف مختلفی برخورد می کنند: آنهایی که در مقابل آنها قرار دارند. در نتیجه، 1 (اولین تیرانداز) به هدف (الف)، 2 - در (ب)، 3 - در (ج) ضربه زد. وابستگی زیر مشاهده می شود: 1 – (a)، 2 – (b)، 3 – (c). نتیجه‌گیری این قضاوت خواهد بود که چنین مقایسه‌ای از مجموعه‌ها یک تقسیم‌بندی است.
2. سکوی دوم مسابقات. اولین تیرانداز تنها به یک هدف برخورد می کند. دومی نیز تنها به یک هدف برخورد می کند. نفر سوم واقعاً تلاش نمی کند و همه چیز را بعد از دیگران تکرار می کند، اما شرایط یکسان است - همه کمانداران به اهداف مختلفی برخورد می کنند. اما همانطور که قبلا ذکر شد، در حال حاضر چهار هدف در پلت فرم دوم وجود دارد. وابستگی: 1 - (الف)، 2 - (ب)، 3 - (ج)، (د) - عنصر جفت نشده مجموعه. در این مورد، نتیجه این قضاوت خواهد بود که چنین مقایسه مجموعه ای یک تزریق است.
3. سومین محل برگزاری مسابقات. اولین تیرانداز تنها به یک هدف برخورد می کند. دومی دوباره فقط به یک هدف می زند. سومی تصمیم می گیرد خودش را جمع کند و به هدف سوم و چهارم می زند. در نتیجه، وابستگی: 1 -(الف)، 2 - (ب)، 3 - (ج)، 3 - (د). در اینجا، نتیجه این قضاوت خواهد بود که چنین مقایسه‌ای از مجموعه‌ها یک حدس است.
4. چهارمین سکوی مسابقات. با اولی، همه چیز از قبل مشخص است، او تنها به یک هدف می زند، که به زودی جایی برای ضربات از قبل خسته کننده نخواهد بود. حالا دومی نقش سومی را بر عهده می گیرد که هنوز هم اخیراً نیست و دوباره فقط به یک هدف می زند و بعد از هدف اول تکرار می شود. سومی به کنترل خود ادامه می دهد و از معرفی تیر خود به اهداف سوم و چهارم دست نمی کشد. اما پنجمی هنوز از کنترل او خارج بود. بنابراین، وابستگی: 1 - (a)، 2 - (b)، 3 - (c)، 3 - (d)، (e) - عنصر جفت نشده مجموعه اهداف. نتیجه‌گیری: چنین مقایسه‌ای از مجموعه‌ها نه جراحی است، نه تزریقی، و نه یک بیژکشن.

اکنون ساختن بیژکشن، تزریق یا سرجکشن مشکلی نخواهد بود و همچنین یافتن تفاوت بین آنها.