مطالعه خواص حالت مجموع گاز ماده یکی از حوزه های مهم فیزیک مدرن است. با در نظر گرفتن گازها در مقیاس میکروسکوپی، می توان تمام پارامترهای ماکروسکوپی سیستم را بدست آورد. این مقاله یک مسئله مهم از نظریه جنبشی مولکولی گازها را آشکار می کند: توزیع ماکسول مولکول ها از نظر سرعت چگونه است.
پیشینه تاریخی
ایده گاز به عنوان سیستمی از ذرات متحرک میکروسکوپی در یونان باستان سرچشمه گرفت. بیش از 1700 سال طول کشید تا علم آن را توسعه دهد.
بنیانگذار نظریه مدرن مولکولی جنبشی گاز (MKT) منصفانه است که دانیل برنولی را در نظر بگیرد. در سال 1738 اثری به نام «هیدرودینامیک» منتشر کرد. در آن، برنولی ایده های MKT را که تا به امروز مورد استفاده قرار گرفته اند، بیان کرد. بنابراین، دانشمند معتقد بود که گازها از ذراتی تشکیل شده اند که به طور تصادفی در همه جهات حرکت می کنند. برخوردهای متعددذرات با دیواره رگ به عنوان وجود فشار در گازها درک می شوند. سرعت ذرات ارتباط نزدیکی با دمای سیستم دارد. جامعه علمی ایده های جسورانه برنولی را نپذیرفت زیرا قانون بقای انرژی هنوز ایجاد نشده بود.
متعاقباً، بسیاری از دانشمندان در ساخت مدل جنبشی گازها مشغول شدند. در میان آنها باید به رودولف کلازیوس اشاره کرد که در سال 1857 یک مدل گاز ساده ایجاد کرد. در آن، دانشمند توجه ویژه ای به وجود درجات آزادی انتقالی، چرخشی و ارتعاشی در مولکول ها داشت.
در سال 1859، با مطالعه کار کلازیوس، جیمز ماکسول به اصطلاح توزیع ماکسول بر سرعت های مولکولی را فرموله کرد. در واقع، ماکسول ایده‌های MKT را تأیید کرد و از آنها با یک دستگاه ریاضی پشتیبانی کرد. متعاقباً، لودویگ بولتزمن (1871) نتایج توزیع ماکسول را تعمیم داد. او توزیع آماری کلی تری از مولکول ها را بر روی سرعت ها و انرژی ها فرض کرد. در حال حاضر به عنوان توزیع Maxwell-Boltzmann شناخته می شود.
گاز ایده آل. فرضیه های اساسی ILC
برای درک اینکه تابع توزیع Maxwell چیست، باید به وضوح سیستم هایی را که این تابع برای آنها قابل استفاده است، درک کنید. ما در مورد گاز ایده آل صحبت می کنیم. در فیزیک، این مفهوم به عنوان یک ماده سیال شناخته می شود که از ذرات عملاً بدون بعد تشکیل شده است که انرژی پتانسیل ندارند. این ذرات با سرعت بالایی حرکت می کنند، بنابراین رفتار آنها کاملاً توسط انرژی جنبشی تعیین می شود. علاوه بر این، فاصله بین ذرات بسیار زیاد استدر مقایسه با اندازه آنها، بنابراین دومی نادیده گرفته می شود.
گازهای ایده آل در MKT توصیف شده اند. فرضیه های اصلی آن به شرح زیر است:
- سیستم های گازی از تعداد زیادی ذرات آزاد تشکیل شده اند؛
- ذرات به طور تصادفی با سرعت های مختلف در جهت های مختلف در طول مسیرهای مستقیم حرکت می کنند؛
- ذرات به طور الاستیک با دیواره رگ برخورد می کنند (احتمال برخورد ذرات با یکدیگر به دلیل اندازه کوچک آنها کم است)؛
- دمای سیستم به طور منحصربه‌فردی توسط میانگین انرژی جنبشی ذرات تعیین می‌شود که در صورت برقراری تعادل ترمودینامیکی در سیستم، در زمان حفظ می‌شود.
قانون توزیع ماکسول
اگر شخصی ابزاری داشته باشد که با آن بتوان سرعت یک مولکول گاز را اندازه گیری کرد، پس از انجام آزمایش مناسب، شگفت زده می شود. این آزمایش نشان می‌دهد که هر مولکول از هر سیستم گازی با سرعتی کاملاً دلخواه حرکت می‌کند. در این حالت، در چارچوب یک سیستم در تعادل حرارتی با محیط، مولکول‌های بسیار کند و بسیار سریع شناسایی می‌شوند.
قانون توزیع سرعت ماکسول در مولکول های گاز ابزاری است که به شما امکان می دهد احتمال تشخیص ذرات با سرعت معین v را در سیستم مورد مطالعه تعیین کنید. تابع مربوطه به این شکل است:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
در این عبارت، m -جرم ذره (مولکول)، k - ثابت بولتزمن، T - دمای مطلق. بنابراین، اگر ماهیت شیمیایی ذرات (مقدار m) شناخته شود، تابع f(v) به طور منحصر به فردی توسط دمای مطلق تعیین می شود. تابع f(v) چگالی احتمال نامیده می شود. اگر انتگرال را برای محدودیت سرعت (v; v+dv) از آن بگیریم، تعداد ذرات Ni را دریافت می کنیم که دارای سرعت در بازه مشخص شده هستند. بر این اساس، اگر انتگرال چگالی احتمال f(v) را برای حدود سرعت از 0 تا ∞ بگیریم، تعداد کل مولکول‌های N را در سیستم به دست می‌آوریم.
نمایش گرافیکی چگالی احتمال f(v)
تابع چگالی احتمال تا حدودی شکل ریاضی پیچیده ای دارد، بنابراین نمایش رفتار آن در دمای معین آسان نیست. اگر آن را روی یک نمودار دو بعدی به تصویر بکشید، می توان این مشکل را حل کرد. یک نمای شماتیک از نمودار توزیع ماکسول در شکل زیر نشان داده شده است.
می بینیم که از صفر شروع می شود، زیرا سرعت v مولکول ها نمی تواند مقادیر منفی داشته باشد. نمودار در جایی در ناحیه سرعت های بالا به پایان می رسد و به آرامی به صفر می رسد (f(∞)->0). ویژگی زیر نیز قابل توجه است: منحنی صاف نامتقارن است و برای سرعت های کوچک به شدت کاهش می یابد.
یک ویژگی مهم رفتار تابع چگالی احتمال f(v) وجود یک حداکثر تلفظ شده روی آن است. با توجه به معنای فیزیکی تابع، این حداکثر با محتمل ترین مقدار سرعت مولکول ها در گاز مطابقت دارد.سیستم.
سرعتهای مهم برای تابع f(v)
تابع چگالی احتمال f(v) و نمایش گرافیکی آن به ما امکان می دهد سه نوع مهم سرعت را تعریف کنیم.
اولین نوع سرعتی که واضح است و در بالا ذکر شد، محتمل‌ترین سرعت v1 است. در نمودار، مقدار آن با حداکثر تابع f(v) مطابقت دارد. این سرعت و مقادیر نزدیک به آن است که بیشتر ذرات سیستم را خواهد داشت. محاسبه آن کار دشواری نیست، برای این کار کافی است مشتق اول را با توجه به سرعت تابع f(v) گرفته و آن را با صفر برابر کنیم. در نتیجه این عملیات ریاضی، نتیجه نهایی را می گیریم:
v1=√(2RT/M).
در اینجا R ثابت گاز جهانی است، M جرم مولی مولکولها است.
نوع دوم سرعت، مقدار متوسط آن برای همه N ذره است. بیایید آن را v2 نشان دهیم. می توان آن را با ادغام تابع vf(v) روی تمام سرعت ها محاسبه کرد. نتیجه ادغام ذکر شده فرمول زیر خواهد بود:
v2=√(8RT/(piM)).
چون نسبت 8/pi>2 است، میانگین سرعت همیشه کمی بیشتر از محتمل‌ترین آن است.
همه کسانی که کمی در مورد فیزیک می دانند می دانند که سرعت متوسط v2 مولکول ها باید در یک سیستم گازی اهمیت زیادی داشته باشد. با این حال، این یک فرض اشتباه است. خیلی مهمتر سرعت RMS است. بیایید آن را نشان دهیمv3.
طبق تعریف، سرعت ریشه-میانگین-مربع مجموع مجذور سرعت تک تک ذرات است که بر تعداد این ذرات تقسیم شده و زیر جذر گرفته می شود. اگر انتگرال را روی تمام سرعت های تابع v2f(v) تعریف کنیم، می توان آن را برای توزیع ماکسول محاسبه کرد. فرمول میانگین سرعت درجه دوم به این شکل خواهد بود:
v3=√(3RT/M).
برابری نشان می دهد که این سرعت از v2 و v1 برای هر سیستم گازی بیشتر است.
بنابراین، همه انواع سرعت های در نظر گرفته شده در نمودار توزیع ماکسول یا در منتهی الیه یا سمت راست آن قرار دارند.
اهمیت v3
در بالا ذکر شد که میانگین سرعت مربع برای درک فرآیندهای فیزیکی و خواص سیستم گاز مهمتر از سرعت متوسط ساده v2 است. این درست است، زیرا انرژی جنبشی یک گاز ایده آل دقیقاً به v3 بستگی دارد و نه به v2.
اگر گاز ایده آل تک اتمی را در نظر بگیریم، عبارت زیر برای آن معتبر است:
mv32/2=3/2kT.
در اینجا، هر بخش از معادله نشان دهنده انرژی جنبشی یک ذره با جرم m است. چرا عبارت دقیقاً حاوی مقدار v3 است، و نه میانگین سرعت v2؟ خیلی ساده: هنگام تعیین انرژی جنبشی هر ذره، سرعت مجزای آن v مجذور می شود، سپس تمام سرعت هابه تعداد ذرات N اضافه و تقسیم می شوند. یعنی همان روش تعیین انرژی جنبشی به مقدار میانگین سرعت مربع منجر می شود.
وابستگی تابع f(v) به دما
ما در بالا ثابت کردیم که چگالی احتمال سرعت های مولکولی منحصراً به دما بستگی دارد. اگر T کم یا زیاد شود، تابع چگونه تغییر می کند؟ نمودار زیر به پاسخ به این سوال کمک می کند.
مشاهده می شود که گرم شدن سیستم بسته منجر به لکه دار شدن پیک و تغییر آن به سمت سرعت های بالاتر می شود. افزایش دما منجر به افزایش انواع سرعت ها و کاهش چگالی احتمال هر یک از آنها می شود. مقدار پیک به دلیل حفظ تعداد ذرات N در یک سیستم بسته کاهش می‌یابد.
بعد، چند مشکل را برای ادغام مطالب نظری دریافتی حل خواهیم کرد.
مشکل با مولکول های نیتروژن در هوا
لازم است سرعت های v1، v2 و v۳ محاسبه شود. برای نیتروژن هوا در دمای 300 کلوین (حدود 27 oC).
جرم مولی نیتروژن N2 ۲۸ گرم در مول است. با استفاده از فرمول های بالا، به دست می آوریم:
v1=√(2RT/M)=√(28، 314300/0، 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88، 314300/(3، 140، 028))=476 متر بر ثانیه;
v3=√(3RT/M)=√(38، 314300/0، 028)=517 متر بر ثانیه.
مشکل مخزن اکسیژن
اکسیژن سیلندر در دمای معینی T1 بود. سپس بالون را در اتاق سردتری قرار دادند. وقتی سیستم به تعادل ترمودینامیکی می رسد، نمودار توزیع سرعت ماکسول برای مولکول های اکسیژن چگونه تغییر می کند؟
با یادآوری تئوری، می‌توانیم به سؤال مسئله به این صورت پاسخ دهیم: مقادیر انواع سرعت مولکولها کاهش می‌یابد، اوج تابع f(v) به چپ منتقل می‌شود. باریک تر و بالاتر می شوند.
