دانستن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه یا یک خط مستقیم به شما امکان می دهد حجم و مساحت شکل ها را در فضا محاسبه کنید. محاسبه این فاصله در هندسه با استفاده از معادلات مربوطه برای اجسام هندسی مشخص شده انجام می شود. در مقاله نشان خواهیم داد که از چه فرمول هایی می توان برای تعیین آن استفاده کرد.
معادلات خط و صفحه
قبل از ارائه فرمول هایی برای تعیین فاصله از یک نقطه تا یک صفحه و یک خط، اجازه دهید نشان دهیم که چه معادلاتی این اجسام را توصیف می کنند.
برای تعریف یک نقطه، مجموعه ای از مختصات در سیستم داده شده از محورهای مختصات استفاده می شود. در اینجا فقط سیستم مستطیلی دکارتی را در نظر می گیریم که در آن محورها بردارهای واحد یکسانی دارند و متقابلاً عمود هستند. در یک صفحه، یک نقطه دلخواه با دو مختصات، در فضا - با سه توصیف می شود.
انواع مختلفی از معادلات برای تعریف یک خط مستقیم استفاده می شود. مطابق با موضوع مقاله ارائه می کنیمفقط دو مورد از آنها که در فضای دو بعدی برای تعریف خطوط استفاده می شود.
معادله برداری. نماد زیر را دارد:
(x; y)=(x0؛ y0) + λ(a; b).
جمله اول در اینجا مختصات یک نقطه شناخته شده را نشان می دهد که روی خط قرار دارد. جمله دوم مختصات بردار جهت ضرب در عدد دلخواه λ است.
معادله کلی. نماد آن به شرح زیر است:
Ax + By + C=0;
که در آن A، B، C برخی از ضرایب هستند.
معادله عمومی بیشتر برای تعیین خطوط در یک صفحه استفاده می شود، اما برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط در یک صفحه، کار با یک عبارت برداری راحت تر است.
یک صفحه در فضای سه بعدی را می توان به چندین روش ریاضی نیز نوشت. با این وجود، اغلب در مسائل یک معادله کلی وجود دارد که به صورت زیر نوشته می شود:
Ax + By + Cz + D=0.
مزیت این نماد در رابطه با سایر نمادها این است که به صراحت مختصات یک بردار عمود بر صفحه را در خود دارد. این بردار راهنمای آن نامیده می شود، با جهت نرمال منطبق است و مختصات آن برابر است با (A; B; C).
توجه داشته باشید که عبارت فوق با شکل نوشتن یک معادله کلی برای یک خط مستقیم در فضای دو بعدی همزمان است، بنابراین هنگام حل مسائل باید مراقب باشید که این اجسام هندسی با هم اشتباه گرفته نشوند.
فاصله بین نقطه و خط
بیایید نحوه محاسبه فاصله بین یک خط مستقیم ونقطه در فضای دو بعدی.
بگذارید یک نقطه Q(x1؛ y1) و یک خط داده شده با: وجود داشته باشد
(x; y)=(x0؛ y0) + λ(a; b).
فاصله بین یک خط و یک نقطه به عنوان طول یک پاره عمود بر این خط درک می شود که از نقطه Q بر روی آن کاهش می یابد.
قبل از محاسبه این فاصله، باید مختصات Q را در این معادله جایگزین کنید. اگر آنها آن را برآورده کنند، Q متعلق به خط داده شده است و فاصله مربوطه برابر با صفر است. اگر مختصات نقطه به تساوی منجر نشود، فاصله بین اجسام هندسی غیر صفر است. می توان آن را با استفاده از فرمول محاسبه کرد:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
در اینجا P یک نقطه دلخواه از خط مستقیم است که ابتدای بردار PQ¯ است. بردار u¯ یک پاره راهنما برای یک خط مستقیم است، یعنی مختصات آن (a; b) است.
استفاده از این فرمول مستلزم توانایی محاسبه ضربدری در عدد است.
مشکل با یک نقطه و یک خط
فرض کنید باید فاصله بین Q(-3; 1) و خط مستقیمی را که معادله را برآورده می کند پیدا کنید:
y=5x -2.
با جایگزینی مختصات Q در عبارت، می توانیم مطمئن شویم که Q روی خط قرار ندارد. اگر این معادله را به صورت برداری نمایش دهید، می توانید فرمول d را که در پاراگراف بالا ارائه شده است، اعمال کنید. بیایید این کار را اینگونه انجام دهیم:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
حالا هر نقطه ای از این خط را در نظر بگیریم، برای مثال (0; -2)، و برداری بسازیم که از آن شروع شده و به Q ختم می شود:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
حالا فرمول را برای تعیین فاصله اعمال کنید، دریافت می کنیم:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
فاصله نقطه تا هواپیما
همانطور که در مورد یک خط مستقیم، فاصله بین یک صفحه و یک نقطه در فضا به عنوان طول قطعه درک می شود که از یک نقطه معین به طور عمود بر صفحه پایین آمده و آن را قطع می کند.
در فضا، یک نقطه با سه مختصات داده می شود. اگر مساوی با (x1؛ y1؛ z1) باشند، فاصله بین صفحه و آن نقطه را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
توجه داشته باشید که استفاده از فرمول به شما امکان می دهد فقط فاصله هواپیما تا خط را پیدا کنید. برای یافتن مختصات نقطه ای که یک پاره عمود بر صفحه ای را قطع می کند، لازم است برای خطی که این پاره به آن تعلق دارد، معادله ای بنویسیم و سپس یک نقطه مشترک برای این خط و یک صفحه معین پیدا کنیم..
مشکل با هواپیما و نقطه
فاصله یک نقطه تا یک صفحه را پیدا کنید اگر مشخص شود که نقطه دارای مختصات (3; -1; 2) است و صفحه با: به دست می آید.
-y + 3z=0.
برای استفاده از فرمول مربوطه، ابتدا ضرایب را می نویسیمهواپیمای داده شده از آنجایی که متغیر x و جمله آزاد وجود ندارد، ضرایب A و D برابر با صفر هستند. ما داریم:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
به راحتی می توان نشان داد که این هواپیما از مبدا می گذرد و محور x متعلق به آن است.
مختصات نقطه و ضرایب صفحه را با فرمول فاصله d جایگزین کنید، به دست می آید:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2، 21.
توجه داشته باشید که اگر مختصات x یک نقطه را تغییر دهید، فاصله d تغییر نخواهد کرد. این واقعیت به این معنی است که مجموعه نقاط (x; -1; 2) یک خط مستقیم به موازات صفحه داده شده تشکیل می دهد.
